Annäherung an die Fläche unter einer Kurve
Integration kann als eine Berechnung der Fläche angesehen werden, die von einem Graphen einer Funktion von x und der x-Achse begrenzt wird. In diesem Teil wird graphisch vorgeführt, wie eine Näherung für diese Fläche gefunden wird.
Diese Berechnung berücksichtigt das Vorzeichen einer Funktion. Das bedeutet, dass die Fläche einer Funktion unterhalb der x-Achse definitionsgemäß negativ ist. In der Zeichnung wird dieses Phänomen über die Farbe der Fläche verdeutlicht. Während des Zeichnens wird im Hintergrund das Integral berechnet.
Die Fläche eines Gebiets, das vom Graph der Funktion und der x-Achse eingeschlossen wird, kann auf verschiedene Weisen durch Rechtecke angenähert werden. Das Intervall, in dem die Fläche bestimmt werden soll, wird in Unterintervalle aufgeteilt. Die Länge eines solchen Unterintervalls entspricht der Breite des Rechtecks. Der Funktionswert
in der Mitte
am linken Rand
am rechten Rand
auf einem zufälligen Punkt des Unterintervalls
kann als Höhe des Rechtecks aufgefasst werden.
Darüber hinaus kann man die
Trapezregel
Simpson’sche Regel
verwenden.
In den ersten vier Methoden wird die Approximation über die Fläche eines Rechtecks mit der Höhe f(x) gemacht, wobei x jeweils der linke, rechte, mittlere oder ein zufälliger Punkt jedes Unterintervalls ist. Für die Trapezregel wird die Näherung durch die Fläche des Trapezes bestimmt, das sich zwischen den Randpunkten (x, f(x)) und (x+h, f(x+h)) mit einem Liniensegment aufspannt.
Die Simpson Regel benutzt eine quadratische Annäherung, eine Parabel läuft durch beide Endpunkte und durch den Mittelpunkt (x+½h, f(x+½h)) des Unterintervalls.
Während der Flächenberechnung wird ein Vorzeichenwechsel durch die Farbe verdeutlicht. Grün bedeutet eine Zunahme, Rot eine Abnahme. Dies ergibt für eine positive Schrittweite das gewohnte Bild, für eine negative Schrittweite ergibt sich gerade das Gegenteil.
Sie können die Schrittweite und die Anzahl der Intervalle vorgeben. Im letzteren Fall berechnet das Programm die Größe der Unterintervalle.