Polynome sind die einfachsten Funktionen, die Ihnen in der Analysis begegnen. Es ist angenehm mit ihnen zu arbeiten, denn ihre Funktionswerte sind nach einer endlichen Zahl von Multiplikationen und Additionen berechenbar. Innerhalb dieses Kapitels kann gezeigt werden, dass viele Funktionen wie Exponentialfunktionen oder trigonometrische Funktionen durch Polynome angenähert werden können.
Wenn eine Funktion für einen bestimmten x-Wert Ableitungen der Ordnung n besitzt, dann ist das Taylor-Polynom der n-ten Ordnung definiert als
Taylor-Polynome geben nicht immer eine gute Näherung an die Funktion.
Zum Beispiel ist die Taylor-Approximation der Funktion
für x=0 nur innerhalb des Intervalls (-1,1) sinnvoll.
Für Werte x>1 existiert die Funktion nicht, für Werte x<-1 weicht die Funktion stark von der Näherung ab. Das Diagramm zeigt auch das interessante Phänomen des symmetrischen Konvergenzgebiets einer Potenzreihe. Sie können sehen, dass die Potenzreihe in der Nachbarschaft des Intervalls inakzeptabel wird.